Шпаргалки по ВЫШКЕ

Шпаргалки по ВЫШКЕ

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке М0 ( x 0, y 0) имеет вид: Физический смысл производной. S ( t ) – путь за данное время. D S ( t ) – приращение пути. D S ( t )/ D t –средняя скорость на участке. мгновен. скорость на участке: произв. пути от скорости: S'(t)=U(t) Теорема : Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.

Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную. Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство: 2 Правила дифференцирования Теорема: Если f ( x ) и g ( x ) дифферен. в точке х, то: Доказательство 2-го правила. Теорема о произв. сложной функции. Если y ( x )= f ( u ( x )) и существует f ’( u ) и u ’( x ), то существует y ’( x )= f ( u ( x )) u ’( x ). Доказательство: Рассмотрим f ( x ) в задан. промеж.: [ a , b ]. g ( y ): [ f ( a ), f ( b )] – наз. обратной к f ( x ), если g ( f ( x ))= x , для любого ' X [ a , b ] f ( g ( y ))= y , для любого у [ f ( a ), f ( b )] y=sin x [- p /2, p /2], тогда x=arcsin y, y [1,1] sin arcsin y = y; arcsin * sin x=x Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных: 3 Таблица производных: Доказательство: Дифференциал функции.

Определение: Если Х независимая переменная, то дифференциал функции f ( x ) наз. f ’( x ) D x = u обозначают df ( x ). Теорема об инвариантной форме первого дифференциала. df(x)=f’(x)dx Доказательство : 1). 2). 4 Производная высших порядков.

Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции: Определение: Производная n -го порядка называется производной производной n -1-го порядка. Пример : Используя метод математической индукции несложно показать, что: 1). n -ая производная обладает свойством линейности, т.е.: 2). 3). 4). 5). 6). Дифференцирование функций заданных параметрически. Пример 1: возьмем t =1, тогда x =2, y =3; y ’(2)=7/3 Пример 2 : 5 Основные теоремы матим. анализа. 1. Теорема Ферма. Если f ( x ) дифф. в точке x 0 и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x 0 , то f ’( x )=0. Доказательство : пусть f ( x 0 ) – наибольшая. 2.Теорема Ролля. Если функция f ( x ) непрерывна на заданном промеж/ [ a , b ] деффер. на интервале ( a , b ) f ( a )= f ( b ) то существует т. с из интерв. ( a , b ), такая, что f ’( c )=0. 3. Теорема Коши. Если f ( x ), g ( x ) удовл. трем условиям: 1). f ( x ), g ( x ) непрерыв. на промеж [ a , b ] 2). f ( x ), g ( x ) деффер. на интервале ( a , b ) 3). g ’( x ) ¹ 0 на интер. ( a , b ), то сущ. т. с g ( b ) ¹ g ( a ) (неравны по теореме Ролля). 1). F ( x ) – непрерывна на [ a , b ] 2). F ( x ) – дефференцированна на ( a , b ) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. с ( a , b ); F ’(с)=0 4.Теорема Лагранжа. Если функция f ( x ) непрерывна на [ a , b ] и дефференцирована на ( a , b ), то сущест. т . с (a,b), такая , что : f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство: применим т.Коши, взяв только g ( x )= x , тогда g ’( x )=1 ¹ 0. 6 Правила Лопиталя.

Раскрытие неопределенности.

Теорема: Если функция f ( x ), g ( x ) дефференцирована в окресности т. а, причем f ( a )= g ( a )=0 и существует предел Доказательство : Формула Тейлора.

Определение: многочлен Тейлора n -го порядка функции f ( x ) в точке x 0 назыв. Пример: Определение: остаточным членам формулю Тейлора n -го порядка наз.: Теорема : Если функция F ( x ) ( n +1) – дефферен. в окресности точки x 0 , то для любого x из этой окресн. сущ. т. с( x 0 , x ) 0 Правила дифференцирования . Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы: Производная сложной функции. Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы: Если z = z ( x ) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид: Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы: Для сложных функций: 7 Аналитические признаки поведения функции.

Теорема : Критерий постоянства фун.

Функция f ( x )= const на промежутке [ a , b ], тогда, когда f ’( x )=0 на интервале ( a , b ). Док-во : f ( x )= c => f ’( x )= c ’=0 возьмем ' x [ a , b ] и применим т.

Лангранжа f ( x ) [ a , b ] по т.

Лангранжа f ( x )- f ( a )= f ’( c )( x - a ); c ( a , x ); f ( x )- f ( a )=0; f ( x )= f ( a ) для любого x => f ( x )= const . Теорема : Достаточный признак возрастания функции. Если f ’( x )>0, ( a , b ), то f ( x ) возрастает на [ a , b ]. Док-во : возьмем x 1 , x 2 [ a , b ]: x 1 x 2 => f ( x 2 )> f ( x 1 ) применим т.

Лангранжа f ( x ) на [ x 1 , x 2 ] по этой теореме f ( x 2 )- f ( x 1 )= f ’( c )( x 2 - x 1 )>0 => f ( x 2 )> f ( x 1 ).Замечание: данные условия не являются необходимыми.

Теорема : достаточный признак убывания функции. Если f ’( x ) a , b ), то f ( x ) убывает на [ a , b ]. Док-во 1 : подобно предыдущему. Док-во 2 : g ( x )=- f ( x ),тогда g ’( x )=- f ’( x )>0 => g ( x ) - возрастает => f ( x ) – убывает.

Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [ a , b ], то ее произв. не отрицат.(положит.) на ( a , b ). f ( x ) возрастает: [ a , b ]=> f ’( x ) 0 ( a , b ). Признаки экстремума функций. Опред : точка x 0 называется точкой max ( min ) если существ. такая окрестность данной точки, что в x 0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение. Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции. Теорема : Необходимый признак экстремума функции. Если х 0 точка экстремума f ( x ), то : 1). Либо не существует f ’( x 0 ) 2). Либо f ’( x 0 )=0 Док-во : 1). Не сущест. f ’( x 0 ) 2). Сущест. f ’( x 0 ) - по т. Ферма f ’( x 0 )=0 Замечание: данные условия не являются достаточными. 8 Поиск наибольшего и наименьшего значения непрерывных функций на замкнутом промежутке. Теорема : Первый достаточный признак экстремума функции. Если f ’( x )>0 на интервале ( x 0 -б,х 0 ) и f ’( x ) 0 , x 0 +б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х 0 , т.е. х 0 – точка максимума f ( x ), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х 0 – точка минимума.

Доказательство : Теорема : Второй достаточный признак максимума функции. Если f ( x ) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х 0 , и: 1). f’(x 0 )=0 2). f’’(x 0 ) то х0 точка максимума (аналогично, если f ’’( x 0 ) 0 – точка минимума) Док-во : Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности. Выпуклость графика функции. Опр . График функции y = f ( x ) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале. 9 Теорема : Достаточный признак выпуклости графика функции вниз. Если функция f ( x ) дважды дефференц. на нтервале ( a , b ) и ее вторая производн. f ’’( x )>0 на интервале ( a , b ), то график функции y = f ( x ) выпуклый вниз на интервале ( a , b ). : Возьмем X = x .Из первого вычтем второе Поэтому y > Y следовательно график функции расположен выше касательной Аналогично, если f ’’( x ) a , b ) то график функции y = f ( x ) - выпуклый вверх, на данном интервале.

Асимптоты. Опр . Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности. Опр.

Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1 : x = a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y = f ( x ), тогда когда f ( x ) ® µ , при x ® a . Теорема 2 : Критерий существования наклонной асимптоты прямая y = kx + b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при : Док-во : Точка M 0 ( x 0 , y 0 ) и прямая L : Ax + By + Cz =0, то расстояние Пусть y = kx + b асимптота => d ( M , l ) ® 0=> kx-f(x)+b ® 0 тогда f ( x )- kx ® b при x ® + µ существует предел: 10 Теорема : Необходимый признак существования наклонной асимптоты. Если прямая l : y = kx + b – наклонная асимп. для правой наклонной ветви, то: Док-во: Пример : x =1 – верт.

Асимптота, т.к. f ( x ) ® µ , когда x ® 1 Вывод : y =0 y +1 – наклонная асимптота для левой и правой ветви.

 

Категории

Технология

История экономических учений

Менеджмент (Теория управления и организации)

Философия

Химия

Административное право

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Математика

Бухгалтерский учет

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Радиоэлектроника

Физика

Теория систем управления

Маркетинг, товароведение, реклама

Банковское дело и кредитование

Право

Политология, Политистория

Охрана природы, Экология, Природопользование

Педагогика

Психология, Общение, Человек

Медицина

Ветеринария

Теория государства и права

Физкультура и Спорт

Сельское хозяйство

Уголовное право

Техника

Программирование, Базы данных

Программное обеспечение

Биология

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Архитектура

История

Здоровье

Религия

Социология

Материаловедение

Криминалистика и криминология

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Металлургия

Биржевое дело

Компьютерные сети

Уголовный процесс

Римское право

География, Экономическая география

Разное

Ценные бумаги

История государства и права зарубежных стран

Литература, Лингвистика

Историческая личность

Военная кафедра

История отечественного государства и права

Транспорт

Авиация

Астрономия

Космонавтика

Гражданская оборона

Подобные работы

Статистика (шпаргалка 2002г.)

echo "Асимметрия распределения такова: "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " => 27,39 31,4 33,52 Показатели вариации: 1) Размах вариации R "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " 2) С

Синтез САУ

echo "Составление функциональной схемы. 2. Составить дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев. 3. С оставить уравнение динамики системы по каналу задающего и управляющего воздействия

Статистика (Способы отбора и виды выборки, обеспечивающие репрезентативность)

echo "Качество результатов выборочного наблюдения зависит оттого, насколько состав выборки представляет генеральную совокупность, иначе говоря, от того, насколько выборка репрезентативна (представител

Нахождение всех действительных корней алгебраического многочлена методом деления отрезка пополам (бисекции) и методом хорд и касательных с указанной точностью и учетом возможной кратности корней

echo "Рассмотрим следующий случай: - дана функция F(x) и построен ее график; - определена допустимая погрешность Q - "; echo ''; echo " на основании графика определен отрезок [a,b] , на котром

Шпаргалки по ВЫШКЕ

echo "Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке М0 ( x 0, y 0) имеет вид: "; echo ''; echo " Физический смысл производной. S ( t ) – путь за данное время. "; echo ''; echo " D S ( t

Опыт использования ЭВМ на уроках математики

echo "Обеспечить курс системой задач и упражнений, практических работ в условиях безмашинного варианта обучения было возможно, лишь сосредоточив основное внимание на его содержании, на формировании ал

Гениальные математики Бернулли

echo "Годовой сбор налогов, например, достигал двух миллионов флоринов, в то время как вся Испания давала один миллион. Карл V называл Нидерланды жемчужиной своей короны. Протестантство появилось в Н

Математические методы в организации транспортного процесса

echo "Составить план перевозки, чтобы затраты были минимальными. "; echo ''; echo " 2. Построение математической модели. Пусть X ij – количество деталей, отправленных со склада i в магазин j, а C ij –