Шпаргалки по ВЫШКЕ

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке М0 ( x 0, y 0) имеет вид: Физический смысл производной. S ( t ) – путь за данное время. D S ( t ) – приращение пути. D S ( t )/ D t –средняя скорость на участке. мгновен. скорость на участке: произв. пути от скорости: S'(t)=U(t) Теорема : Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.

Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную. Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство: 2 Правила дифференцирования Теорема: Если f ( x ) и g ( x ) дифферен. в точке х, то: Доказательство 2-го правила. Теорема о произв. сложной функции. Если y ( x )= f ( u ( x )) и существует f ’( u ) и u ’( x ), то существует y ’( x )= f ( u ( x )) u ’( x ). Доказательство: Рассмотрим f ( x ) в задан. промеж.: [ a , b ]. g ( y ): [ f ( a ), f ( b )] – наз. обратной к f ( x ), если g ( f ( x ))= x , для любого ' X [ a , b ] f ( g ( y ))= y , для любого у [ f ( a ), f ( b )] y=sin x [- p /2, p /2], тогда x=arcsin y, y [1,1] sin arcsin y = y; arcsin * sin x=x Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных: 3 Таблица производных: Доказательство: Дифференциал функции.

Определение: Если Х независимая переменная, то дифференциал функции f ( x ) наз. f ’( x ) D x = u обозначают df ( x ). Теорема об инвариантной форме первого дифференциала. df(x)=f’(x)dx Доказательство : 1). 2). 4 Производная высших порядков.

Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции: Определение: Производная n -го порядка называется производной производной n -1-го порядка. Пример : Используя метод математической индукции несложно показать, что: 1). n -ая производная обладает свойством линейности, т.е.: 2). 3). 4). 5). 6). Дифференцирование функций заданных параметрически. Пример 1: возьмем t =1, тогда x =2, y =3; y ’(2)=7/3 Пример 2 : 5 Основные теоремы матим. анализа. 1. Теорема Ферма. Если f ( x ) дифф. в точке x 0 и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x 0 , то f ’( x )=0. Доказательство : пусть f ( x 0 ) – наибольшая. 2.Теорема Ролля. Если функция f ( x ) непрерывна на заданном промеж/ [ a , b ] деффер. на интервале ( a , b ) f ( a )= f ( b ) то существует т. с из интерв. ( a , b ), такая, что f ’( c )=0. 3. Теорема Коши. Если f ( x ), g ( x ) удовл. трем условиям: 1). f ( x ), g ( x ) непрерыв. на промеж [ a , b ] 2). f ( x ), g ( x ) деффер. на интервале ( a , b ) 3). g ’( x ) ¹ 0 на интер. ( a , b ), то сущ. т. с g ( b ) ¹ g ( a ) (неравны по теореме Ролля). 1). F ( x ) – непрерывна на [ a , b ] 2). F ( x ) – дефференцированна на ( a , b ) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. с ( a , b ); F ’(с)=0 4.Теорема Лагранжа. Если функция f ( x ) непрерывна на [ a , b ] и дефференцирована на ( a , b ), то сущест. т . с (a,b), такая , что : f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство: применим т.Коши, взяв только g ( x )= x , тогда g ’( x )=1 ¹ 0. 6 Правила Лопиталя.

Раскрытие неопределенности.

Теорема: Если функция f ( x ), g ( x ) дефференцирована в окресности т. а, причем f ( a )= g ( a )=0 и существует предел Доказательство : Формула Тейлора.

Определение: многочлен Тейлора n -го порядка функции f ( x ) в точке x 0 назыв. Пример: Определение: остаточным членам формулю Тейлора n -го порядка наз.: Теорема : Если функция F ( x ) ( n +1) – дефферен. в окресности точки x 0 , то для любого x из этой окресн. сущ. т. с( x 0 , x ) 0 Правила дифференцирования . Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы: Производная сложной функции. Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы: Если z = z ( x ) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид: Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы: Для сложных функций: 7 Аналитические признаки поведения функции.

Теорема : Критерий постоянства фун.

Функция f ( x )= const на промежутке [ a , b ], тогда, когда f ’( x )=0 на интервале ( a , b ). Док-во : f ( x )= c => f ’( x )= c ’=0 возьмем ' x [ a , b ] и применим т.

Лангранжа f ( x ) [ a , b ] по т.

Лангранжа f ( x )- f ( a )= f ’( c )( x - a ); c ( a , x ); f ( x )- f ( a )=0; f ( x )= f ( a ) для любого x => f ( x )= const . Теорема : Достаточный признак возрастания функции. Если f ’( x )>0, ( a , b ), то f ( x ) возрастает на [ a , b ]. Док-во : возьмем x 1 , x 2 [ a , b ]: x 1 x 2 => f ( x 2 )> f ( x 1 ) применим т.

Лангранжа f ( x ) на [ x 1 , x 2 ] по этой теореме f ( x 2 )- f ( x 1 )= f ’( c )( x 2 - x 1 )>0 => f ( x 2 )> f ( x 1 ).Замечание: данные условия не являются необходимыми.

Теорема : достаточный признак убывания функции. Если f ’( x ) a , b ), то f ( x ) убывает на [ a , b ]. Док-во 1 : подобно предыдущему. Док-во 2 : g ( x )=- f ( x ),тогда g ’( x )=- f ’( x )>0 => g ( x ) - возрастает => f ( x ) – убывает.

Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [ a , b ], то ее произв. не отрицат.(положит.) на ( a , b ). f ( x ) возрастает: [ a , b ]=> f ’( x ) 0 ( a , b ). Признаки экстремума функций. Опред : точка x 0 называется точкой max ( min ) если существ. такая окрестность данной точки, что в x 0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение. Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции. Теорема : Необходимый признак экстремума функции. Если х 0 точка экстремума f ( x ), то : 1). Либо не существует f ’( x 0 ) 2). Либо f ’( x 0 )=0 Док-во : 1). Не сущест. f ’( x 0 ) 2). Сущест. f ’( x 0 ) - по т. Ферма f ’( x 0 )=0 Замечание: данные условия не являются достаточными. 8 Поиск наибольшего и наименьшего значения непрерывных функций на замкнутом промежутке. Теорема : Первый достаточный признак экстремума функции. Если f ’( x )>0 на интервале ( x 0 -б,х 0 ) и f ’( x ) 0 , x 0 +б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х 0 , т.е. х 0 – точка максимума f ( x ), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х 0 – точка минимума.

Доказательство : Теорема : Второй достаточный признак максимума функции. Если f ( x ) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х 0 , и: 1). f’(x 0 )=0 2). f’’(x 0 ) то х0 точка максимума (аналогично, если f ’’( x 0 ) 0 – точка минимума) Док-во : Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности. Выпуклость графика функции. Опр . График функции y = f ( x ) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале. 9 Теорема : Достаточный признак выпуклости графика функции вниз. Если функция f ( x ) дважды дефференц. на нтервале ( a , b ) и ее вторая производн. f ’’( x )>0 на интервале ( a , b ), то график функции y = f ( x ) выпуклый вниз на интервале ( a , b ). : Возьмем X = x .Из первого вычтем второе Поэтому y > Y следовательно график функции расположен выше касательной Аналогично, если f ’’( x ) a , b ) то график функции y = f ( x ) - выпуклый вверх, на данном интервале.

Асимптоты. Опр . Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности. Опр.

Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1 : x = a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y = f ( x ), тогда когда f ( x ) ® µ , при x ® a . Теорема 2 : Критерий существования наклонной асимптоты прямая y = kx + b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при : Док-во : Точка M 0 ( x 0 , y 0 ) и прямая L : Ax + By + Cz =0, то расстояние Пусть y = kx + b асимптота => d ( M , l ) ® 0=> kx-f(x)+b ® 0 тогда f ( x )- kx ® b при x ® + µ существует предел: 10 Теорема : Необходимый признак существования наклонной асимптоты. Если прямая l : y = kx + b – наклонная асимп. для правой наклонной ветви, то: Док-во: Пример : x =1 – верт.

Асимптота, т.к. f ( x ) ® µ , когда x ® 1 Вывод : y =0 y +1 – наклонная асимптота для левой и правой ветви.